Demostracion Cuota Sistema Frances 1


En el artículo SISTEMA DE PRESTAMO FRANCES expliqué que para obtener el valor de las cuotas a pagar en los períodos era:

Donde:

C: Cuota total. Es decir el monto anual correspondiente a los pagos que haya que realizar

V: Capital tomado en préstamo.

i: La tasa anual de interés (nominal). También se la conoce como tasa de interés periódica.

n: Cantidad de cuotas.

 

Recordemos que las cuotas son montos fijos cuando hablamos del sistema francés.

Ahora me gustaría demostrar cómo se llega a dicha fórmula.

Seguramente si estás leyendo este artículo es porque te gustan las matemáticas y no podes aguantar no saber de donde sale esta fórmula, tal como me paso a mi.




Supongamos que las cuotas se pagan cada mes para un préstamo cuya duración es N, esto se conoce como término del préstamo. Entonces la cantidad debida del préstamo al final de cada mes, será igual a la cantidad que se debía el mes anterior más un interes, menos el pago de la cuota. Pongamoslo asi:

En el mes 0, la cantidad que se debe es V. Si miramos la fórmula de arriba, esto es igual al capital tomado en préstamo o tambien se lo llama principal. Sólo por cuestiones de lectura renombremoslo a V0

En el mes 1

Según la primera ecuación el monto adeudado en el mes 1 será igual al monto adeudado en el mes 0, más el interés sobre el principal, menos la cuota. Si hacemos sacamos factor común nos queda la segunda ecuación.

 

Ahora siguiendo la misma lógica, en el mes 2 el monto adeudado será

Si reemplazamos V1 por lo obtenido anteriormente nos quedará

  (ecuación 2)

La ecuación 2 se obtiene multiplicando (1+i) por lo que está entre paréntesis.

 

Hagamos lo mismo para obtener el monto adeudado en el mes 3 y finalmente generalicemos para N términos

Ahora que ya entendemos bien el mecanismo lo hacemos para N términos:

Podemos observar que lo que está dentro del paréntesis que multiplica  c es una progresión matemática, o sea una secuencia de números que tienen un common ratio, en este caso (1+i)

  (ecuación 3)

Si multiplicamos ambos lados por (1+i)

  (ecuación 4)

Si tomamos la ecuación 4, le restamos la ecuación 5 y operamos un poco obtenemos:

Ahora reemplacemos esa S en nuestra ecuación de  VN   

Pero hay una cuestión importante, nuestro monto adeudado en  VN será 0$ porque ya lo habremos pagado anteriormente en su totalidad.
Por lo tanto:

Finalmente hemos logrado demostrar cómo se obtiene la fórmula de la cuota en el sistema francés.

De la misma se pueden hacer algunos comentarios:

  • La cuota depende de la tasa de interés y del término del préstamo
  • El monto de la cuota depende de forma directa del principal, o sea del monto prestado


Dejar un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Once − 9 =

Una idea sobre “Demostracion Cuota Sistema Frances